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2022年中考数学二轮复习经典问题专题训练07 图形变化类

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专题07图形变化类【规律总结】解决图形规律题的步骤:(1)标序数——按图号标序;(2)找规律——观察图形,随着序号增加,后一个图形与前一个图形相比,找出图形变化规律,注意变量与不变量,将每个图中所求量的个数表示成与序数有关的式子;(3)验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确;【典例分析】例1.(2021·重庆渝北区·八年级期末)如图是一组有规律的图案,第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有7个三角形,第③个图案中有10个三角形……,依此规律,第⑧个图案中有()个三角形.A.19B.21C.22D.25【答案】D【分析】由题意可知:第①个图案有3+1=4个三角形,第②个图案有3×2+1=7个三角形,第③个图案有3×3+1=10个三角形,…依此规律,第n个图案有(3n+1)个三角形,代入n=8即可求得答案.【详解】∵第①个图案有3+1=4个三角形,第②个图案有3×2+1=7个三角形,第③个图案有3×3+1=10个三角形,…∴第n个图案有(3n+1)个三角形.当n=8时,3×8+1=25,故选:D.【点睛】此题考查图形的变化规律,解题的关键是找出图形之间的变化规律,利用规律解决问题.例2.(2021·北京东城区·八年级期末)如图,30MON,点1234,,,AAAA,…在射线ON上,点123,,BBB,…在射线OM上,且112223334,,ABAABAABA△△△,…均为等边三角形,以此类推,若11OA,则202120212022ABA△的边长为_______.【答案】20202.【分析】根据30MON,11OA,112ABA△是等边三角形,得11260BAA,进而得1130OBA,1111AOBA==,可得22OA,以此类推即可求解.【详解】解:∵30MON,11OA,112ABA△是等边三角形,∴11260BAA∴1130OBA∴1111AOBA==∴22OA同理:223ABA△,334ABA△,…均为等边三角形,2222BAOA,233342BAOA===…则202120212022ABA△的边长为20202.故答案是:20202.【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类,解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.例3.(2021·安徽芜湖市·七年级期末)如图,同一行的两个图形中小正方形的个数相等,但它们的排列方式不一样,根据不同的排列方式可以得到一列等式.(12)223(123)234(1234)245(1)第n个图形中对应的等量关系是21231n______.(2)根据(1)的结论,求24650的值.【答案】(1)(1)(2)nn;(2)650【分析】(1)根据前三幅图可知右边的式子等于左边括号内最大的数与比它大1数的积;(2)先逆用乘法分配律变形,然后根据(1)中结论计算即可;【详解】解:(1)∵(12)223,(123)234,(1234)245,…,∴123(1)2(1)(2)nnn,故答案为:(1)(2)nn;(2)246501(5)23222526650.【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.也考查了有理数的混合运算.【好题演练】一、单选题1.(2020·浙江台州市·七年级期末)如图,用大小相等的黑色三角形按一定规律拼成如图的图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形…,依照此规律,第⑩个图案中黑色三角形的个数为()A.50B.55C.58D.612.(2021·北京房山区·八年级期末)如图甲,直角三角形ABC的三边a,b,c,满足222abc的关系.利用这个关系,探究下面的问题:如图乙,OAB是腰长为1的等腰直角三角形,90OAB,延长OA至1B,使1ABOA,以1OB为底,在OAB外侧作等腰直角三角形11OAB,再延长1OA至2B,使121ABOA,以2OB为底,在11OAB外侧作等腰直角三角形22OAB,……,按此规律作等腰直角三角形nnOAB(1n,n为正整数),则22AB的长及20212021OAB的面积分别是()A.2,20202B.4,20212C.22,20202D.2,20192二、填空题3.(2021·山东青岛市·七年级期末)下列图形均是用长度相同的火柴棒按一定的规律搭成,搭第1个图形需要4根火柴棒,搭第2个图形需要10根火柴棒,…,依此规律,搭第10个图形需要________根火柴棒.4.(2021·全国七年级)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,取BC边中点E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四边形EDAF,它的周长记作C1;取BE中点E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF,得到四边形E1D1FF1,它的周长记作C2.照此规律作下去,则C2020=__.三、解答题5.(2021·山东青岛市·七年级期末)(问题提出)以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点,共(4)n个点作为顶点,可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形?(问题探究)为了解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单的情形入手:(探究一)以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P(如图①),共5个点为顶点显然,此时可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形.(探究二)以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点P、Q,共6个点为顶点,可把长方形ABCD分割成多少个互不重叠的小三角形?在探究一的基础上,我们可看作在图①长方形ABCD的内部,再添加1个点Q,那么点Q的位置会有两种情况:一种情况是,点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PB上(如图②);另一种情况是,点Q在图①分割成的某个小三角形内部.不妨设点Q在PAB△的内部(如图③).显然,不管哪种情况,都可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形.(探究三)长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共7个点为顶点,可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图.(问题解决)以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点,共(4)n个点作为顶点,可把原长方形分割成________个互不重叠的小三角形.(实际应用)以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点,可把梯形分割成________个互不重叠的小三角形.(拓展延伸)以五边形的5个顶点和它内部的m个点,共(5)m个点作为顶点,可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形.6.(2021·青岛实验学校九年级期末)在平面直角坐标系中,点A从原点O出发,沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动,其移动路线如图所示,其中半圆的半径为1个单位长度,这时点1234,,,AAAA的坐标分别为12340,0,1,12,03,1AAAA,按照这个规律解决下列问题:1写出点5678,,,,AAAA的坐标;2点2018A的位置在_____________(填“x轴上方”“x轴下方”或“x轴上”);3试写出点nA的坐标(n是正整数).专题07图形变化类【规律总结】解决图形规律题的步骤:(1)标序数——按图号标序;(2)找规律——观察图形,随着序号增加,后一个图形与前一个图形相比,找出图形变化规律,注意变量与不变量,将每个图中所求量的个数表示成与序数有关的式子;(3)验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确;【典例分析】例1.(2021·重庆渝北区·八年级期末)如图是一组有规律的图案,第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有7个三角形,第③个图案中有10个三角形……,依此规律,第⑧个图案中有()个三角形.A.19B.21C.22D.25【答案】D【分析】由题意可知:第①个图案有3+1=4个三角形,第②个图案有3×2+1=7个三角形,第③个图案有3×3+1=10个三角形,…依此规律,第n个图案有(3n+1)个三角形,代入n=8即可求得答案.【详解】∵第①个图案有3+1=4个三角形,第②个图案有3×2+1=7个三角形,第③个图案有3×3+1=10个三角形,…∴第n个图案有(3n+1)个三角形.当n=8时,3×8+1=25,故选:D.【点睛】此题考查图形的变化规律,解题的关键是找出图形之间的变化规律,利用规律解决问题.例2.(2021·北京东城区·八年级期末)如图,30MON,点1234,,,AAAA,…在射线ON上,点123,,BBB,…在射线OM上,且112223334,,ABAABAABA△△△,…均为等边三角形,以此类推,若11OA,则202120212022ABA△的边长为_______.【答案】20202.【分析】根据30MON,11OA,112ABA△是等边三角形,得11260BAA,进而得1130OBA,1111AOBA==,可得22OA,以此类推即可求解.【详解】解:∵30MON,11OA,112ABA△是等边三角形,∴11260BAA∴1130OBA∴1111AOBA==∴22OA同理:223ABA△,334ABA△,…均为等边三角形,2222BAOA,233342BAOA===…则202120212022ABA△的边长为20202.故答案是:20202.【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类,解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.例3.(2021·安徽芜湖市·七年级期末)如图,同一行的两个图形中小正方形的个数相等,但它们的排列方式不一样,根据不同的排列方式可以得到一列等式.(12)223(123)234(1234)245(1)第n个图形中对应的等量关系是21231n______.(2)根据(1)的结论,求24650的值.【答案】(1)(1)(2)nn;(2)650【分析】(1)根据前三幅图可知右边的式子等于左边括号内最大的数与比它大1数的积;(2)先逆用乘法分配律变形,然后根据(1)中结论计算即可;【详解】解:(1)∵(12)223,(123)234,(1234)245,…,∴123(1)2(1)(2)nnn,故答案为:(1)(2)nn;(2)246501(5)23222526650.【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.也考查了有理数的混合运算.【好题演练】一、单选题1.(2020·浙江台州市·七年级期末)如图,用大小相等的黑色三角形按一定规律拼成如图的图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形…,依照此规律,第⑩个图案中黑色三角形的个数为()A.50B.55C.58D.61【答案】B【分析】根据前3个图案中黑色三角形的个数找出规律,利用规律解题即可.【详解】第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,312,第③个图案中有6个黑色三角形,6123,……第⑩个图案中黑色三角形的个数为1234567891055,故选:B.【点睛】本题注意考查图形类规律探索,找到规律是解题的关键.2.(2021·北京房山区·八年级期末)如图甲,直角三角形ABC的三边a,b,c,满足222abc的关系.利用这个关系,探究下面的问题:如图乙,OAB是腰长为1的等腰直角三角形,90OAB,延长OA至1B,使1ABOA,以1OB为底,在OAB外侧作等腰直角三角形11OAB,再延长1OA至2B,使121ABOA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