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2022年中考数学二轮复习经典问题专题训练05 算式变化类

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文档简介:

专题05算式变化类【规律总结】1.需要熟记的数字规律:(1)正整数:1,2,3,···,n(n≥1,且n为整数),前n个数的和为2)1(nn;(2)奇数:1,3,5,7,9,··.,2n-1(n≥1,且n为整数),前n个数的和为2n;(3)偶数:2,4,6,8,···,2n(n≥1,且n为整数),前n个数的和为n(n+1).2.解决数字规律题的策略:具体策略:①分别观察分子、分母的特征;②注意相邻项的变化特征,如递增时可考虑以an+b(a,b为常数)的形式递增或以n2,n3等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤对于分式可考虑化异分母为同分母,还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于正负号交替出现的情况,可用n1-或11-n(n为正整数)来处理.3.等式变化规律题:(1)先找到等式左边变化特点;(2)再找打等式右边变化特点;(3)最后看看等式左右两边的内在联系;【典例分析】例1.(2020·河南洛阳市·九年级月考)请先在草稿纸上计算下列四个式子的值:①31;②331+2;③3331+2+3;④33331+2+3+4.观察计算的结果,由发现的规律得出33331+2+3++25的值为()A.351B.350C.325D.300【答案】C【分析】通过计算前面4个式子的值,得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和,然后利用此规律求解.【详解】①31=1;②3312=3=1+2;③3331+2+3=6=1+2+3;④33331+2+3+4=10=1+2+3+4;∴33331+2+3++25=1+2+3+…+25=325.故选:C.【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题,解题关键是先计算题干中的4个简单算式,得出规律后再进行复杂算式的求解.例2.(2020·浙江杭州市·七年级期末)观察下列算式:第1个算式:2131213313;第2个算式:2181318824;第3个算式:2115141151535……按照上面的规律则第4个算式为:_________.第1个算式到第n个算式结果的乘积是________.(用含n的代数式表示).【答案】2124152424146222nn【分析】(1)根据已知算式得出第4个算术即可;(2)将结果乘积列式计算即可.【详解】(1)第4个算式为:2124152424146,故答案为:2124152424146;(2)由题意得:2222223413243545(1)(2)6nnn=222nn,故答案为:222nn.【点睛】此题考查代数式的计算规律探究,有理数的混合运算,发现式子的运算规律并运用规律解决问题是解题的关键.例3.(2020·浙江金华市·七年级期末)观察下列各式:2(1)(1)1xxx;23(1)11xxxx;324(1)11xxxxx;请根据这一规律计算:(1)12(1)1nnnxxxxx;(2)1514132222221.【答案】(1)11nx;(2)1621.【分析】(1)观察题中所给的三个等式,可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1,等式右边第二项均为1,据此可解;(2)根据(1)中所得的规律,可将原式左边乘以(2-1),再按照(1)中规律计算即可.【详解】(1)12(1)1nnnxxxxx11nx;(2)15141322222211514132(21)(222221)1621.【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用,熟练掌握相关计算法则是解题的关键.【好题演练】一、单选题1.(2020·太原市育英中学校七年级期中)观察下列等式:2223471236,222245912346,222225611123456,….按照此规律,式子2222123100可变形为()A.1001011026B.1001012016C.1001012036D.1001012011002.(2020·赵集中学七年级期中)“数形结合”是一种重要的数学思维,观察下面的图形和算式;21112134221359321357164213579255解答下列问题:请用上面得到的规律计算:135759()A.901B.900C.961D.625二、填空题3.(2021·全国八年级)阅读下文,寻找规律,并填空:已知x≠1,计算:(1﹣x)(1+x)=1﹣x2(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4(1﹣x)(1+x+x2+x3+x4)=1﹣x5观察上式,并猜想:(1﹣x)(1+x+x2+…+xn)=___.4.(2020·甘肃张掖市·大成中学七年级期末)观察下列各式:1-212=1322,1-213=2433,1-214=3544,根据上面的等式所反映的规律(1-212)(1-213)(1-214)2112019=________三、解答题5.(2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考)阅读下列简化过程:2121212121(21)(21)(2)1;1323232(32)(32);1434343(43)(43);……解答下列问题:(1)请用n(n为正整数)表示化简过程规律________;(2)计算111112233220152016;(3)设132a,123b,152c,比较a,b,c的大小关系.6.(2021·广东潮州市·八年级期末)有一列按一定顺序和规律排列的数:第一个数是112;第二个数是123;第三个数是134;对任何正整数n,第n个数与第(1)n个数的和等于22nn(1)经过探究,我们发现:1111212,1112323,1113434设这列数的第5个数为a,那么①1156a;②1156a,③1156a,则正确(填序号).(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数,猜想这列数的第n个数可表示(用含n的式子表示),并且证明:第n个数与第(1)n个数的和等于22nn;(3)利用上述规律计算:111120202018201820162016201442的值.专题05算式变化类【规律总结】1.需要熟记的数字规律:(1)正整数:1,2,3,···,n(n≥1,且n为整数),前n个数的和为2)1(nn;(2)奇数:1,3,5,7,9,··.,2n-1(n≥1,且n为整数),前n个数的和为2n;(3)偶数:2,4,6,8,···,2n(n≥1,且n为整数),前n个数的和为n(n+1).2.解决数字规律题的策略:具体策略:①分别观察分子、分母的特征;②注意相邻项的变化特征,如递增时可考虑以an+b(a,b为常数)的形式递增或以n2,n3等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤对于分式可考虑化异分母为同分母,还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于正负号交替出现的情况,可用n1-或11-n(n为正整数)来处理.3.等式变化规律题:(1)先找到等式左边变化特点;(2)再找打等式右边变化特点;(3)最后看看等式左右两边的内在联系;【典例分析】例1.(2020·河南洛阳市·九年级月考)请先在草稿纸上计算下列四个式子的值:①31;②331+2;③3331+2+3;④33331+2+3+4.观察计算的结果,由发现的规律得出33331+2+3++25的值为()A.351B.350C.325D.300【答案】C【分析】通过计算前面4个式子的值,得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和,然后利用此规律求解.【详解】①31=1;②3312=3=1+2;③3331+2+3=6=1+2+3;④33331+2+3+4=10=1+2+3+4;∴33331+2+3++25=1+2+3+…+25=325.故选:C.【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题,解题关键是先计算题干中的4个简单算式,得出规律后再进行复杂算式的求解.例2.(2020·浙江杭州市·七年级期末)观察下列算式:第1个算式:2131213313;第2个算式:2181318824;第3个算式:2115141151535……按照上面的规律则第4个算式为:_________.第1个算式到第n个算式结果的乘积是________.(用含n的代数式表示).【答案】2124152424146222nn【分析】(1)根据已知算式得出第4个算术即可;(2)将结果乘积列式计算即可.【详解】(1)第4个算式为:2124152424146,故答案为:2124152424146;(2)由题意得:2222223413243545(1)(2)6nnn=222nn,故答案为:222nn.【点睛】此题考查代数式的计算规律探究,有理数的混合运算,发现式子的运算规律并运用规律解决问题是解题的关键.例3.(2020·浙江金华市·七年级期末)观察下列各式:2(1)(1)1xxx;23(1)11xxxx;324(1)11xxxxx;请根据这一规律计算:(1)12(1)1nnnxxxxx;(2)1514132222221.【答案】(1)11nx;(2)1621.【分析】(1)观察题中所给的三个等式,可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1,等式右边第二项均为1,据此可解;(2)根据(1)中所得的规律,可将原式左边乘以(2-1),再按照(1)中规律计算即可.【详解】(1)12(1)1nnnxxxxx11nx;(2)15141322222211514132(21)(222221)1621.【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用,熟练掌握相关计算法则是解题的关键.【好题演练】一、单选题1.(2020·太原市育英中学校七年级期中)观察下列等式:2223471236,222245912346,222225611123456,….按照此规律,式子2222123100可变形为()A.1001011026B.1001012016C.1001012036D.100101201100【答案】B【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律,由此即可得.【详解】2223313434712366,222244145459123466,222225515656111234566,归纳类推得:222111211266nnnnnnnn,其中n为正整数,则222210010012100110010120123100166,故选:B.【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题,正确归纳类推出一般规律是解题关键.2.(2020·赵集中学七年级期中)“数形结合”是一种重要的数学思维,观察下面的图形和算式;21112134221359321357164213579255解答下列问题:请用上面得到的规律计算:13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