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2022年中考数学二轮复习经典问题专题训练03 和角平分线有关的图形

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文档简介:

专题03和角平分线有关的图形【规律总结】模型三“臭脚”模型点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧,在AB、CD外部·“骨折”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP;结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.【典例分析】例1.(2019·石家庄润德学校八年级期中)如图,O是ABC的ABC,ACB的平分线的交点,//ODAB交BC于点D,//OEAC交BC于点E.若16BC,则ODE的周长是()A.16B.10C.8D.以上都不对【答案】A【分析】根据题意判断出OBD和OCE△是等腰三角形,再转化ODE的边长即可.【详解】OBQ平分ABC,//ODABABOOBDBOD,OBD是等腰三角形,BDOD,同理可得:OCE△是等腰三角形,CEOE,16ODECODDEOEBDDEECBC△,故选:A.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是解题的关键.例2.(2020·余干县第六中学八年级月考)如图,ABC中,6BC,BO与CO分别是ABC与ACB的平分线,//ODAB,//OEAC.则ODE的周长是__________.【答案】6【分析】由OB,OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD=OD,OE=EC,显然△ODE的周长即为BC的长度.【详解】∵OD∥AB,∴∠ABO=∠BOD,∵OB平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBD,∴∠ABO=∠BOD,∴BD=OD,则同理可得CE=OE,∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=6.故答案为:6.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的性质,熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.例3.(2019·河南商丘市·八年级期中)(1)如图①,△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线交于O点,过O点作EF//BC交AB、AC于E、F.图中有________个等腰三角形.猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由.(2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中有_____个等腰三角形.它们是_____________.EF与BE、CF间的关系是___________________.(3)如图③,若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O,过O点作OE//BC交AB于E,交AC于F.这时图中有_______个等腰三角形.EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【答案】(1)5,EFBECF,理由见解析;(2)2,,BEOCFO△△,EFBECF;(3)2,EFBECF,理由见解析【分析】(1)根据题意易得∠ABC=∠ACB,由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,由角平分线可得∠ABO=∠OBC,∠OCB=∠ACO,进而可根据等腰三角形的判定可进行求解;(2)由题意易得∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,进而可得∠EOB=∠EBO,则EO=EB,同理可得FO=FC,然后问题可求解;(3)由题意易得∠ABO=∠OBC,∠1=∠2,∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠2,进而可得∠EOB=∠EBO,则EO=EB,同理可得FO=FC,然后问题可求解.【详解】解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO,∴OB=OC,∴△OBC是等腰三角形,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∴∠AEF=∠AFE,∠EOB=∠EBO,∠FOC=∠FCO,∴AE=AF,EB=EO,FO=FC,∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形,∴EFEOOFBECF,故答案为5;(2)∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∴∠EOB=∠EBO,∴EO=EB,同理可得FO=FC,∴△EBO、△FOC都是等腰三角形,∴EFEOOFBECF,故答案为2,,BEOCFO△△,EFBECF;(3)EFBECF,理由如下:如图,∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠ABO=∠OBC,∠1=∠2,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠2,∴∠EOB=∠EBO,∴EO=EB,同理可得FO=FC,∴△EBO、△FOC都是等腰三角形,∴EFEOOFBECF,故答案为2.【点睛】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定,熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定是解题的关键,这题属于“双平等腰”的经典模型.【好题演练】一、单选题1.(2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习)在钝角△ABC中,延长BA到D,AE是∠DAC的平分线,AE//BC,则与∠B相等的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020·河南开封市·九年级二模)如图,已知BM平分∠ABC,且BM//AD,若∠ABC=70°,则∠A的度数是()A.30°B.35°C.40°D.70°二、填空题3.(2020·江苏盐城市·八年级期中)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F,若BE=3,CD=4,ED=5,则FG的长为_________.4.(2014·陕西九年级专题练习)如图,AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,EG平分∠BEF,交CD于点G,∠1=50°,则∠2等于_________三、解答题5.(2020·沈阳市第一二七中学七年级期中)如图,已知AM∥BN,∠A=64°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.(1)①∠ABN的度数是;②∵AM∥BN,∴∠ACB=∠;(2)求∠CBD的度数;(3)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由:若变化,请写出变化规律;(4)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是.6.(2019·四川资阳市·七年级期末)阅读理解:我们知道“三角形三个内角的和为180°”,在学习平行线的性质之后,可以对这一结论进行推理论证.请阅读下面的推理过程:如图①,过点A作DE//BC∴∠B=∠EAB,∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即:三角形三个内角的和为180°.阅读反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起,得出角之间的关系.方法运用:如图②,已知AB//DE,求∠B+∠BCD+∠D的度数.(提示:过点C作CF//AB)深化拓展:如图③,已知AB//CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°,点B在点A的左侧,∠ABC=60°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在的直线交于点E,且点E在AB与CD两条平行线之间,求∠BED的度数.专题03和角平分线有关的图形【规律总结】模型三“臭脚”模型点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧,在AB、CD外部·“骨折”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP;结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.【典例分析】例1.(2019·石家庄润德学校八年级期中)如图,O是ABC的ABC,ACB的平分线的交点,//ODAB交BC于点D,//OEAC交BC于点E.若16BC,则ODE的周长是()A.16B.10C.8D.以上都不对【答案】A【分析】根据题意判断出OBD和OCE△是等腰三角形,再转化ODE的边长即可.【详解】OBQ平分ABC,//ODABABOOBDBOD,OBD是等腰三角形,BDOD,同理可得:OCE△是等腰三角形,CEOE,16ODECODDEOEBDDEECBC△,故选:A.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质,能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是解题的关键.例2.(2020·余干县第六中学八年级月考)如图,ABC中,6BC,BO与CO分别是ABC与ACB的平分线,//ODAB,//OEAC.则ODE的周长是__________.【答案】6【分析】由OB,OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD=OD,OE=EC,显然△ODE的周长即为BC的长度.【详解】∵OD∥AB,∴∠ABO=∠BOD,∵OB平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBD,∴∠ABO=∠BOD,∴BD=OD,则同理可得CE=OE,∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=6.故答案为:6.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的性质,熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.例3.(2019·河南商丘市·八年级期中)(1)如图①,△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线交于O点,过O点作EF//BC交AB、AC于E、F.图中有________个等腰三角形.猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由.(2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中有_____个等腰三角形.它们是_____________.EF与BE、CF间的关系是___________________.(3)如图③,若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O,过O点作OE//BC交AB于E,交AC于F.这时图中有_______个等腰三角形.EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【答案】(1)5,EFBECF,理由见解析;(2)2,,BEOCFO△△,EFBECF;(3)2,EFBECF,理由见解析【分析】(1)根据题意易得∠ABC=∠ACB,由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,由角平分线可得∠ABO=∠OBC,∠OCB=∠ACO,进而可根据等腰三角形的判定可进行求解;(2)由题意易得∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,进而可得∠EOB=∠EBO,则EO=EB,同理可得FO=FC,然后问题可求解;(3)由题意易得∠ABO=∠OBC,∠1=∠2,∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠2,进而可得∠EOB=∠EBO,则EO=EB,同理可得FO=FC,然后问题可求解.【详解】解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO,∴OB=OC,∴△OBC是等腰三角形,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∴∠AEF=∠AFE,∠EOB=∠EBO,∠FOC=∠FCO,∴AE=AF,EB=EO,FO=FC,∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形,∴EFEOOFBECF,故答案为5;(2)∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∴∠EOB=∠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