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年湖南高考理科数学试题和答案

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文档简介:

www.gaokao.comwww.gaokao.com本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若2loga<0,1()2b>1,则(D)A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<02.对于非0向时a,b,“a//b”的确良(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数y=sinx的图象向左平移(0<2)的单位后,得到函数y=sin()6x的图象,则等于(D)A.6B.56C.76D.1164.如图1,当参数2时,连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C,则[B]A10B10C120D2105.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位[C]A85B56C49D286.已知D是由不等式组2030xyxy,所确定的平面区域,则圆224xy在区域D内的弧长为[B]A4B2C34D32www.gaokao.comwww.gaokao.com7.正方体ABCD—1A1B1C1D的棱上到异面直线AB,C1C的距离相等的点的个数为(C)A.2B.3C.4D.58.设函数()yfx在(,+)内有定义。对于给定的正数K,定义函数(),()(),()kfxfxKfxKfxK取函数()fx=12xe。若对任意的(,)x,恒有()kfx=()fx,则A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1【D】二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__10.在323(1)(1)(1)xxx的展开式中,x的系数为___7__(用数字作答)11、若x∈(0,2)则2tanx+tan(2-x)的最小值为22.12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60o,则双曲线C的离心率为6213、一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128,则总体中的个数数位50。14、在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC的距离为12;(2)过A,B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为315、将正⊿ABC分割成n2(n≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别一次成等差数列,若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)=103,…,f(n)=www.gaokao.comwww.gaokao.com16(n+1)(n+2)三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)在ABC,已知2233ABACABACBC,求角A,B,C的大小。解:设,,BCaACbABc由23ABACABAC得2cos3bcAbc,所以3cos2A又(0,),A因此6A由233ABACBC得23bca,于是23sinsin3sin4CBA所以53sinsin()64CC,133sin(cossin)224CCC,因此22sincos23sin3,sin23cos20CCCCC,既sin(2)03C由A=6知506C,所以3,4233C,从而20,3C或2,3C,既,6C或2,3C故2,,,636ABC或2,,663ABC。17.(本小题满分12分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16,现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求www.gaokao.comwww.gaokao.com的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件1A,1B,1C,i=1,2,3.由题意知1A23AA相互独立,1B23BB相互独立,1C23CC相互独立,1A,1B,1C(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P(1A)=,P(1B)=13,P(1C)=16(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P(1A2B3C)=6P(1A)P(2B)P(3C)=6121316=16(2)解法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由己已知,-B(3,13),且=3。所以P(=0)=P(=3)=13C31()3=127,P(=1)=P(=2)=23C31()32()3=29P(=2)=P(=1)=13C1()322()3=49P(=3)=P(=0)=03C32()3=827故的分布是0123P1272949827的数学期望E=0127+129+249+3827=2解法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D,i=1,2,3,由此已知,1D·D,1D相互独立,且P(1D)-(1A,1C)=P(1A)+P(1C)=12+16=23所以--2(3,)3B,既3321()()()33KKKPKC,0,1,2,3.kwww.gaokao.comwww.gaokao.com故的分布列是0123p127294982718.(本小题满分12分)如图4,在正三棱柱111ABCABC中,2ABAAD是11AB的中点,点E在11AC上,且DEAE。(I)证明平面ADE平面11ACCA(II)求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。解(I)如图所示,由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC又DE平面A1B1C1,所以DEAA1.而DEAE。AA1AE=A所以DE平面ACC1A1,又DE平面ADE,故平面ADE平面ACC1A1。(2)解法1如图所示,设F使AB的中点,连接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1BC1D,A1BDF又C1DDF=D,所以A1B平面C1DF,而AB∥A1B,所以www.gaokao.comwww.gaokao.comAB平面C1DF,又AB平面ABC,故平面ABC1平面C1DF。过点D做DH垂直C1F于点H,则DH平面ABC1。连接AH,则HAD是AD和平面ABC1所成的角。由已知AB=2AA1,不妨设AA1=2,则AB=2,DF=2,DC1=3,C1F=5,AD=221ADAA=3,DH=FCDCDF11·=532—530,所以sinHAD=ADDH=510。即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为510。解法2如图所示,设O使AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设AA1=2,则AB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-1,0),B(3,0,0),C1(0,1,2),D(23,-21,2)。易知AB=(3,1,0),1AC=(0,2,2),AD=(23,-21,2)设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z),则有,022·,03·1zyACnyxABn解得x=-33y,z=-y2,故可取n=(1,-3,6)。所以,cos(n·AD)=ADnADn··=31032=510。www.gaokao.comwww.gaokao.com由此即知,直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为510。19.(本小题满分13分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元。(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式;(Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解(Ⅰ)设需要新建n个桥墩,(1)1mnxmx,即n=所以(2)mmxxxxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.xmxmx(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2332222561'()(512).22mmfxmxxxx令'()0fx,得32512x,所以x=64当00.()fx在区间(64,640)内为增函数,所以()fx在x=64处取得最小值,此时,640119.64mnx故需新建9个桥墩才能使y最小。20(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和(Ⅰ)求点P的轨迹C;(Ⅱ)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。解(Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),则224(3)dxy3︳x-2︳www.gaokao.comwww.gaokao.com由题设当x>2时,由①得221(3)6,2xyx化简得221.3627xy当2x时由①得22(3)3,xyx化简得212yx故点P的轨迹C是椭圆221:13627xyC在直线x=2的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线,参见图1(Ⅱ)如图2所示,易知直线x=2与1C,2C的交点都是A(2,26),B(2,26),直线AF,BF的斜率分别为AFk=26,BFk=26.当点P在1C上时,由②知162PFx.④当点P在2C上时,由③知3PFx⑤若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为(3)ykx(i)当k≤AFk,或k≥BFk,即k≤-26时,直线I与轨迹C的两个交点M(1x,1y),N(2x,2y)都在C1上,此时由④知∣MF∣=6-121x∣NF∣=6-122x从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=(6-121x)+(6-122x)=12-12(1x+2x)www.gaokao.comwww.gaokao.com由22(3)13627ykxxy得2222(34)24361080kxkxk则1x,1y是这个方程的两根,所以1x+2x=222434kk*∣MN∣=12-12(1x+2x)=12-221234kk因为当226,6,24,kk或k2时22212121001212.134114kMNkk当且仅当26k时,等号成立。(2)当,2626AEANkkkk时,直线L与轨迹C的两个交点1122(,),(,)MxyNxy分别在12,CC上,不妨设点M在1C上,点2C上,则④⑤知,1216,32MFxNFx设直线AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),年湖南高考理科数学试题和答案

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